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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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6. Determine los intervalos de concavidad y convexidad y localice los puntos de inflexión de las siguientes funciones
c) f(x)=2x2−x33f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}-x^{3}}

Respuesta

Vamos a seguir los pasos que vimos en la clase "Puntos de inflexión. Concavidad de una función" 😊

1) El dominio de la función es R\mathbb{R} (es una raíz cúbica!)

2) Calculamos f′(x)f'(x) y f′′(x)f''(x)

Para derivar ff, acordate de reescribir la función así:

f(x)=2x2−x33=(2x2−x3)1/3f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}-x^{3}} = (2 x^{2}-x^{3})^{1/3}

Y ahora si, derivamos con las reglas para polinomios:

f′(x)=13(2x2−x3)−2/3⋅(4x−3x2) f'(x) = \frac{1}{3} (2x^2 - x^3)^{-2/3} \cdot (4x - 3x^2)

Derivamos una vez más, aplicamos regla del producto

f′′(x)=13[−23(2x2−x3)−5/3⋅(4x−3x2)⋅(4x−3x2)+(2x2−x3)−2/3⋅(4−6x)] f''(x) = \frac{1}{3} \left[ -\frac{2}{3} (2x^2 - x^3)^{-5/3} \cdot (4x - 3x^2) \cdot (4x - 3x^2) + (2x^2 - x^3)^{-2/3} \cdot (4 - 6x) \right]

f′′(x)=13[−23(2x2−x3)−5/3⋅(4x−3x2)2+(2x2−x3)−2/3⋅(4−6x)] f''(x) = \frac{1}{3} \left[ -\frac{2}{3} (2x^2 - x^3)^{-5/3} \cdot (4x - 3x^2)^2 + (2x^2 - x^3)^{-2/3} \cdot (4 - 6x) \right]

Ahora ojo acá! Fijate que nos quedaron expresiones elevadas a exponentes negativos, es decir, la expresió 2x2−x32x^2 - x^3 está en el denominador y no puede ser cero! Es decir, x=0x = 0 y x=2x=2 no forman parte del dominio de f′′(x)f''(x) pero si formaban parte del dominio de f(x)f(x). f′′(x)f''(x) no es continua en esos puntos, así que cuando nos armemos nuestra tablita los vamos a tener en cuenta. 

3) Igualamos f′′(x)f''(x) a cero para encontrar los puntos de inflexión

😳😳😳😧😧😧

13[−23(2x2−x3)−5/3⋅(4x−3x2)2+(2x2−x3)−2/3⋅(4−6x)]=0\frac{1}{3} \left[ -\frac{2}{3} (2x^2 - x^3)^{-5/3} \cdot (4x - 3x^2)^2 + (2x^2 - x^3)^{-2/3} \cdot (4 - 6x) \right] = 0

Vamos despacito. Lo primero que hago es pasar ese 13\frac{1}{3} para el otro lado y vuela. Ahora fijate cómo voy a reescribirme las expresiones con exponentes negativos (esto es muuuy conveniente para ayudarme a darme cuenta cómo despejar)

−23(4x−3x2)2(2x2−x3)5/3+(4−6x)(2x2−x3)2/3=0 -\frac{2}{3} \frac{(4x - 3x^2)^2}{(2x^2 - x^3)^{5/3}} + \frac{(4 - 6x)}{(2x^2 - x^3)^{2/3}} = 0

Paso el primer término que está restando para el otro lado:

 (4−6x)(2x2−x3)2/3= 23(4x−3x2)2(2x2−x3)5/3   \frac{(4 - 6x)}{(2x^2 - x^3)^{2/3}} = \frac{2}{3} \frac{(4x - 3x^2)^2}{(2x^2 - x^3)^{5/3}} 

Paso multiplicando el (2x2−x3)5/3(2x^2 - x^3)^{5/3} y después uso reglas de potencias (se restan los exponentes, me queda 11!)

 (2x2−x3)(4−6x)= 23(4x−3x2)2   (2x^2 - x^3)(4 - 6x) = \frac{2}{3} (4x - 3x^2)^2 

A la izquierda hago la distributiva, a la derecha abro ese cuadrado usando el cuadrado de un binomio:

8x2−12x3−4x3+6x4= 23(16x2−24x3+9x4) 8x^2 - 12x^3 - 4x^3 + 6x^4 = \frac{2}{3} (16x^2 - 24x^3 + 9x^4)

Hacemos la distributiva de la derecha:

8x2−12x3−4x3+6x4=32x23−48x33+18x43 8x^2 - 12x^3 - 4x^3 + 6x^4 = \frac{32x^2}{3} - \frac{48x^3}{3} + \frac{18x^4}{3}

8x2−12x3−4x3+6x4=32x23−16x3+6x4 8x^2 - 12x^3 - 4x^3 + 6x^4 = \frac{32x^2}{3} - 16x^3 + 6x^4

Ahora, reescribimos la ecuación igualando a cero para ver más claramente en qué situación estamos: 8x2−16x3+6x4−32x23+16x3−6x4=0 8x^2 - 16x^3 + 6x^4 - \frac{32x^2}{3} + 16x^3 - 6x^4 = 0

Apa, se nos cancelan varias cosas. Nos queda:

8x2−32x23=0 8x^2 - \frac{32x^2}{3} = 0

−83x2=0-\frac{8}{3} x^2 = 0

Y si, todo este quilombo fue para llegar a que x=0x = 0, pero f′′(x)f''(x) no está definida en x=0x = 0 (no formaba parte de su dominio), así que esta ecuación no-tiene-solución-me-quiero-matar (pero al menos los que hayan llegado hasta acá practicaron bastante de despeje de ecuaciones jaja)

4) Dividimos la recta real en intervalos donde f′′(x)f''(x) es continua y no tiene raíces, y nos fijamos el signo:

a) (−∞,0)→f′′(x)<0→f(x) (-\infty, 0) \rightarrow f''(x) < 0 \rightarrow f(x) es cóncava hacia abajo.
b) (0,2)→f′′(x)<0→f(x) (0,2) \rightarrow f''(x) < 0 \rightarrow f(x) es cóncava hacia abajo.
c) (2,+∞)→f′′(x)>0→f(x) (2, +\infty) \rightarrow f''(x) > 0 \rightarrow f(x) es cóncava hacia arriba.

Por lo tanto, x=2x=2 es un punto de inflexión. 
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Manuel
27 de mayo 19:06
Me llega a aparecer esto en el parcial del jueves y me pego un corchazo. Saludos Flor!
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Flor
PROFE
27 de mayo 22:13
@Manuel Jajajaja guardá el corcho tranqui que esto seguro no aparece en el parcial 🤣
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